Systèmes bouclés et asservissements

Ce chapitre aborde des notions générales sur les systèmes bouclés, et plus spécifiquement sur l’asservissement des systèmes. Le cas particulier des systèmes bouclés instables est abordé au chapitre Oscillateurs. Les montages à amplificateur linéaire intégré avec une boucle de rétroaction sont des exemples de systèmes bouclés (voir chapitre L’amplificateur linéaire intégré).

Asservir un système peut servir à satisfaire deux types d’objectifs :

1. astreindre la sortie \(s(t)\) d’un système à suivre une loi prévue à l’avance appelée consigne \(e(t)\); le but étant que la sortie recopie le plus fidèlement possible la consigne \(e(t)\) (par exemple l’amplification haute fidélité d’un signal musical, guidage d’une antenne sur un satellite, etc...) : on parle alors de suivi de consigne

2. astreindre la sortie d’un système à être constante (par exemple maintenir la température d’une pièce constante, maintenir la vitesse de rotation d’une machine-outil, etc...) : on parle de régulation (c’est un cas particulier où la consigne est constante).

On ajoute en général des critères de qualité pour caractériser la façon dont le suivi doit être réalisé, par exemple :

• des critères temporels: par exemple la recherche du temps minimal pour atteindre la valeur finale attendue à un pourcentage près;

• des critères de précision: écart à la consigne, capacité à suivre des modifications rapides;

• des critères énergétiques: par exemple la dépense d’énergie nécessaire à la réalisation de l’objectif donné est minimale;

• des critères économiques;

• etc.

Exemples : la nature et les technologies qui nous entourent regorgent d’exemples de systèmes régulés ou asservis. Citons par exemple pour les systèmes stables :

• la régulation en vitesse d’un moteur (figure Fig. 38, escalator...),

• le montage suiveur ou les montages amplificateurs à ALI,

• la régulation en température d’une pièce ou d’un four,

• la régulation de température du corps humain,

• la conduite automobile (suivre un chemin défini),

• les pilotes automatiques.

L’effet Larsen est un exemple de système bouclé instable.

Fig. 38 Haut : perceuse non asservie en vitesse. Bas : perceuse asservie en vitesse.

Commentons la figure Fig. 38. On comprend bien que, sans système d’asservissement, lorsque le foret va entamer le mur, sa vitesse de rotation va décroitre. Si le mur est dur et épais, il est possible de ne jamais arriver au bout du perçage. Par contre si le système est asservi en vitesse ou en couple, alors le système va contrecarrer le couple de frottement provoqué par le perçage du mur en injectant davantage d’énergie dans le moteur électrique de la perceuse. Cette rétroaction est possible si la baisse de la vitesse de rotation du moteur due à un couple de charge extérieur a d’abord été détectée, ici à l’aide d’une dynamo tachymétrique. Notons que l’énergie de l’outil provient de l’alimentation du secteur et non de la commande.

Les systèmes bouclés à l’agrégation : les notions liées à ces systèmes et aux boucles de rétroaction peuvent apparaître dans les épreuves suivantes :

• Leçons : rétroaction et oscillations.

• MP8 : Instabilités

• MP9 : Phénomènes non-linéaires.

• MP53 : Systèmes bouclés.

• MP54 : Résonances

Notion de rétroaction, commande d’un système

Schéma fonctionnel unifilaire général d’un système bouclé

Le schéma fonctionnel général d’un système bouclé est présenté figure Fig. 39. Trois organes composent la boucle:

• une chaîne directe de fonction de transfert \(\underline{A}\) contenant un actionneur,

• une chaîne de retour de fonction de transfert \(\underline{\beta}\) qui peut contenir un capteur ou être directe (\(\underline{\beta}=1\)),

• un comparateur (souvent un soustracteur) qui fournit le signal de commande de la chaîne directe en comparant le signal d’entrée au signal de retour.

Le signal de sortie n’étant pas forcément de même nature que le signal d’entrée (par exemple \(\underline{s}\) une vitesse de rotation et \(\underline{e}\) une tension), le signal de sortie est transformé par l’opérateur de la chaîne de retour (souvent un capteur, par exemple une dynamo) avant de le comparer au signal d’entrée. Les flèches représentent le sens des transferts d’énergie nécessaires à la commande (mais non de la principale source d’énergie du système qui peut ne pas être présentée sur le schéma, comme l’alimentation externe d’un ALI). L’actionneur peut donc éventuellement convertir un signal de commande de faible puissance en un signal de puissance bien plus élevée grâce à un apport d’énergie externe, alors que le détecteur convertit ce signal de forte puissance en un signal de commande de puissance plus faible.

Fig. 39 Schéma fonctionnel unifilaire général d’un système bouclé.

On définit \(\underline{A}(j\omega)\) et \(\underline{\beta}(j\omega)\) les fonctions de transfert respectivement de la chaîne directe et de la chaîne de retour. D’après la figure Fig. 39, on a:

\[\underline{s} = \underline{A}\underline{\epsilon} = \underline{A}(\underline{e}-\underline{\beta}\underline{s}) \Rightarrow \underline{H}_{\text{FTBF}} = \frac{\underline{s}}{\underline{e}} = \frac{\underline{A}}{1+\underline{A}\underline{\beta}}\]

Définition 1. Pour un système bouclé générique tel que représenté figure Fig. 39, on définit:

• la fonction de transfert en boucle fermée :

  \[\boxed{\underline{H}_{\text{FTBF}} = \frac{\underline{s}}{\underline{e}} = \frac{\underline{A}}{1+\underline{A}\underline{\beta}}}\]

• la fonction de transfert en boucle ouverte (appelée aussi gain de boucle) :

  \[\boxed{\underline{H}_{\text{FTBO}} = \frac{\underline{r}}{\underline{e}} = \underline{A}\underline{\beta}}\]

La fonction de transfert en boucle ouverte est la fonction de transfert que l’on obtiendrait si l’on ouvrait la boucle à la sortie de l’opérateur \(\underline{\beta}\). Notons que si l’on remplace le soustracteur par un additionneur, cela revient à changer le signe de \(\underline{\beta}\) par rapport au cas où l’on a un soustracteur.

Application au montage amplificateur non inverseur

Fig. 40 Montage amplificateur non inverseur interprété comme système bouclé.

Revenons sur l’exemple du montage à amplificateur linéaire intégré non inverseur (section Montages de base et figure Fig. 40). Sans utiliser le formalisme des systèmes bouclés, nous sommes parvenus à comprendre ce système parce qu’il est simple. Mais c’est aussi un premier exemple pour illustrer la notion de rétroaction et de système bouclé.

La grandeur de sortie de ce système est la tension \(\underline{s}\), la grandeur d’entrée la tension \(\underline{e}\) et le signal de commande \(\underline{\epsilon}=\underline{V}_+-\underline{V}_-\). La chaîne directe est modélisée par l’ALI et sa fonction de transfert \(\underline{A}\), qui peut être soit celle de l’ALI idéal, soit celle de l’ALI du premier ordre. La chaîne de retour est réalisée par la boucle de rétroaction de fonction de transfert \(\underline{\beta}=\underline{V}_-/\underline{s}=1/G\) avec \(G=1+R_2/R_1\) le gain statique du montage. La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit :

\[\underline{H}_{\text{FTBO}}(j\omega) = \frac{\underline{V}_-(j\omega)}{\underline{e}(j\omega)} = \underline{A}(j\omega)\underline{\beta}(j\omega) = \frac{R_1}{R_1+R_2}\frac{\mu_0}{1+j\omega\tau}\]

dans le cadre du modèle de l’ALI du premier ordre. La fonction de transfert en boucle fermée est :

\[\underline{H}_{\text{FTBF}}(j\omega) = \frac{\underline{s}(j\omega)}{\underline{e}(j\omega)} = \frac{\underline{A}(j\omega)}{1+\underline{A}(j\omega)\underline{\beta}(j\omega)} = \frac{\mu_0}{1+\mu_0\beta} \frac{1}{1+\cfrac{j\omega\tau}{1+\mu_0\beta}}\]

On retrouve la conservation du produit gain-bande telle que calculée sans l’aide du formalisme du système bouclé section Conservation du produit gain-bande. Dans le cadre du modèle de l’ALI idéal d’ordre zéro, on a \(\tau = 0\) et \(\mu_0 \rightarrow \infty\) donc :

\[\quad \underline{H}_{\text{FTBF}}(j\omega) = \frac{\underline{s}(j\omega)}{\underline{e}(j\omega)} = \frac{\mu_0}{1+\mu_0\beta} \approx \frac{1}{\beta} = 1 + \frac{R_2}{R_1}\]

On retrouve la loi d’amplification établie section Montages de base, mais en regardant le montage comme un système bouclé avec rétroaction négative. Au passage, le comparateur suiveur peut se décrire de la même manière.

Nécessité d’un comparateur

Dans l’exemple précédent de la perceuse on a pu se convaincre de la nécessité d’un comparateur, c’est-à-dire d’un dispositif capable de comparer le signal d’entrée au signal de retour, pour constituer le signal de commande envoyé au système actionneur. Ce comparateur est en général un soustracteur, donc ses grandeurs d’entrées doivent être de même nature physique (signaux électriques par exemple). On peut aussi utiliser un sommateur, ou un soustracteur avec plus de deux entrées.

Si les grandeurs d’entrée sont des tensions électriques, alors le soustracteur peut être réalisé par un montage à ALI (figure Fig. 33) ou directement par les bornes inverseuse et non inverseuse d’un ALI.

Utilité des transformées de Laplace

Dans le programme de physique, les transformées de Laplace ne sont pas abordées. La notion de rétroaction peut simplement être abordée autour des montages à ALI avec boucle de retour, tel que dans la section Application au montage amplificateur non inverseur. Néanmoins, la description des systèmes bouclés touche à ses limites lorsqu’on se cantonne à la réponse harmonique de la boucle.

En effet, pour de nombreux systèmes asservis, et notamment ceux abordés en TP, on regarde la réponse d’un système à un échelon de commande, afin d’observer si le système bouclé est capable de suivre la commande qu’un utilisateur lui fournit (et avoir \(\epsilon\rightarrow 0\)). Or la réponse d’un système à un échelon de tension suppose d’étudier son régime transitoire et de prendre en compte ses conditions initiales. Ceci n’est pas possible dans le formalisme de la transformée de Fourier et de l’étude du régime harmonique. La transformée de Laplace est adaptée à ce problème, et formellement revient à remplacer la variable \(j\omega\) par un nombre complexe \(p\) quelconque [1] :

\[\text{Fourier : } F(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega t} f(t) \mathrm{d}t, \quad \text{Laplace : } F(p)=\int_{0}^{+\infty}e^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]

et à changer le domaine d’intégration pour prendre en compte les conditions initiales [2].

Tableau 11 Quelques transformées de Laplace usuelles. \(K\), \(\omega_0\) et \(a\) sont des constantes réelles, avec \(u(t)\) la fonction échelon définie par l’équation Eq.17.

\(f(t)\)	\(F(p)\)	Validité
\(\delta(t)\)	\(1\)
\(K \times u(t)\)	\(\cfrac{K}{p}\)	\(\Re(p)> 0\)
\(K t \times u(t)\)	\(\cfrac{K}{p^2}\)	\(\Re(p)>0\)
\(e^{-at}\times u(t)\)	\(\cfrac{1}{p+a}\)	\(\Re(p)>-a\)
\(\sin(\omega_0 t )\times u(t)\)	\(\cfrac{\omega_0}{p^2+\omega_0^2}\)	\(\Re(p)>0\)
\(\cos(\omega_0 t )\times u(t)\)	\(\cfrac{p}{p^2+\omega_0^2}\)	\(\Re(p)>0\)

Pourquoi la transformée de Laplace est-elle ici plus adaptée que celle de Fourier ? Rappelons-nous que nous avons utilisé la transformée de Fourier pour calculer la réponse d’un système à une excitation sinusoïdale en supposant que le régime libre était un épisode transitoire amorti, donc nul. De plus, la base de Fourier \(\left\lbrace e^{-j\omega t}\right\rbrace_{\omega\in \mathbb{R}}\) est une base pratique pour décomposer les modes d’oscillation d’un système linéaire soumis à une excitation périodique (modes indépendants). Si maintenant on veut pouvoir aussi décrire le régime transitoire (pour caractériser la rapidité du système par exemple), la base de fonction adaptée est celle des \(\left\lbrace e^{-pt}u(t)\right\rbrace_{p\in \mathbb{C}}\). En effet, on se rappelle que la réponse en régime libre est la solution homogène de l’équation différentielle qui décrit le système, et que celle-ci est à chercher sous la forme \(\left\lbrace e^{r_i t}u(t)\right\rbrace\) avec \(r_i\) les racines de l’équation caractéristique. Ainsi, pour des systèmes linéaires stables d’ordre inférieur ou égal à 2, les régimes transitoires rencontrés ont souvent été des exponentielles amorties avec ou sans oscillations. Donc décomposer ces solutions du régime libre sur la base des \(\left\lbrace e^{-pt}u(t)\right\rbrace_{p\in \mathbb{C}}\) est le meilleur moyen de comprendre la réponse complète du système (régimes transitoire et permanent) à une excitation causale quelconque.

Propriété 2. Si on note \(F(p)=\mathcal{L}(f)(p)\) la transformée de Laplace de la fonction \(f(t)\), alors la dérivée et la primitive de la fonction \(f(t)\) vérifient les relations suivantes :

\[\mathcal{L}(f')(p) = pF(p)-f(0),\qquad \mathcal{L}\left(\int_0^t f(t')\mathrm{d}t'\right)(p) = \frac{F(p)}{p} + \frac{g(0)}{p}\]

avec \(g(t)=\int_0^t f(t')\mathrm{d}t'\) la primitive de \(f(t)\).

Ces deux propriétés ressemblent très fortement à ce que l’on connait pour la transformée de Fourier. On peut directement appliquer cette définition pour décrire l’impédance d’une bobine d’inductance \(L\) ou d’un condensateur de capacité \(C\) :

\[u(t) = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \Rightarrow Z_L = L p, \quad q(t) = Cu(t) = \int i(t') \mathrm{d}t' \Rightarrow Z_c = \frac{1}{C p}\]

Appliquons la notion de transformée de Laplace sur un exemple simple : le filtre \(RC\) passe-bas. L’équation différentielle qui régit le système est :

\[e(t) = s(t) + RC \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}\]

Dans le domaine de Laplace, pour un condensateur initialement déchargé (\(s(0)=0\)), elle se transforme en :

\[E(p) = S(p) + RC p S(p)\]

d’où la fonction de transfert du filtre :

\[H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = \frac{1}{1+RC p}\]

Regardons la réponse à un échelon de tension \(E u(t)\) de ce système : \(E(p)=E/p\). La tension de sortie s’écrit :

\[S(p) = H(p) E(p) = \frac{1}{1+RC p} \frac{E}{p} = \frac{E}{p} - \frac{E}{p + 1/RC}\]

suite à une décomposition en fractions rationnelles. En réalisant la transformée de Laplace inverse (voir tableau tab:laplace), on obtient directement la réponse temporelle du système \(RC\) soumis à l’échelon de tension :

\[s(t) = Eu(t) - E e^{-t/RC}u(t) = E \left( 1 - e^{-t/RC} \right) u(t)\]

ce qui est tout à fait la réponse attendue. La méthode des transformées de Laplace est bien entendu trop lourde à mettre en œuvre pour ce circuit simple, mais prend tout son intérêt pour décrire des systèmes complexes avec des signaux d’entrée de formes quelconques. La démarche sera exactement la même que dans cet exemple mais plus pertinente et simplificatrice.

Note

Retour sur la notion de causalité

Section Système linéaire et permanent nous avons défini un système causal comme étant un système dont l’ordre du polynôme au numérateur de sa fonction de transfert est inférieur ou égal à celui du dénominateur (\(m \leqslant n\)). Cette propriété mathématique et son lien avec la causalité se vérifie via de l’analyse complexe sur les fonctions de transfert exprimées dans le formalisme de Laplace.

Tout d’abord la transformée de Laplace \(H(p)\) d’une fonction causale \(h(t)\) est définie sur la partie du plan complexe \(p=(x+jy)\in \mathbb{C}\) vérifiant \(\Re(p) > \alpha\) où \(\alpha\) est le plus petit réel positif vérifiant \(\vert h(t) \vert \leqslant K e^{\alpha t}\). Ensuite, étant donnée une fonction \(H(p)\), la transformée de Laplace inverse, si elle existe, est définie sur un chemin \(\Lambda\) parallèle à l’axe des imaginaires par :

\[h(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{c-j\infty}^{c+j\infty} e^{pt} H(p) \mathrm{d}p \text{ avec } c> \alpha\]

et \(c > \Re(p_\mathrm{max})\) avec \(p_\mathrm{max}\) le pôle de plus grande partie réelle (autrement dit on prend \(c\) un réel assez grand).

Notons que \(h(t)\) représente alors la réponse du système à une impulsion Dirac en entrée à \(t=0\) (de transformée de Laplace \(1\)). Calculer \(h(t)\) revient donc à obtenir la réponse impulsionnelle du système, et si le système est bien causal, sa réponse \(h(t)\) doit être nulle pour \(t<0\), avant qu’il soit excité par l’entrée impulsionnelle. Calculer une telle intégrale peut se faire via le théorème des résidus et le choix de deux contours d’intégration suivant le signe de \(t\). Soient deux arcs de rayon infini \(\Gamma_+\) et \(\Gamma_-\).

Supposons d’abord que \(m<n\), alors \(\lim_{\vert p \vert \to +\infty}H(p)=0\), et pour \(t<0\), \(\int_{\Gamma_-}H(p)e^{pt}\mathrm{d}p=0\) puisque \(\Gamma_-\) est dans la partie droite du plan complexe. Or le contour fermé \(\Lambda+\Gamma_-\) n’entoure aucun pôle car \(c > \Re(p_\mathrm{max})\). Donc d’après le théorème des résidus :

\[0 = \oint_{\Lambda+\Gamma_-} H(p) e^{pt}\mathrm{d}p \approx \int_{\Lambda} H(p) e^{pt}\mathrm{d}p = 2 \pi j h(t) \Rightarrow h(t)=0\text{ pour }t<0\]

Sur l’arc \(\Gamma_+\), l’intégrale n’est cette fois définie que pour \(t>0\) et \(\int_{\Gamma_+}H(p)e^{pt}\mathrm{d}p=0\). Puisque \(m<n\) des pôles sont entourés par \(\Lambda+\Gamma_+\), \(h(t)\) se calcule par le théorème des résidus et est non nulle, \(h(t)\neq 0\) pour \(t>0\). Donc la fonction \(h(t)\) est bien causale et existe si \(m<n\).

Supposons maintenant que \(m>n\). Pour \(c\) grand, sur le chemin \(\Lambda\) la fonction rationnelle \(H(p)\) se simplifie en \(\approx y^{m-n}\), puis il faut d’étudier la convergence de :

\[h(t) \approx e^{ct} \int_{-\infty}^{\infty} e^{jty}y^{m-n} \mathrm{d}y\]

L’intégrale sur \(\Lambda\) ne converge pas si \(m>n\), ni pour \(t>0\) ni \(t<0\), et \(H(p)\) n’est donc la transformée de Laplace d’aucune fonction causale.

Dans le cas \(m=n\), en écrivant \(H(p)\) comme la somme d’une constante et d’une fraction rationnelle de degré négatif, on trouve \(h(t)\) sous la forme d’un multiple de Dirac plus une fonction causale. Donc la causalité physique est vérifiée.

Pour résumé, pour un système physique modélisé par une équation différentielle, il existe une solution \(h(t)\) causale modélisant sa réponse impulsionnelle si \(m \leqslant n\), cette solution étant obtenue par le passage en Laplace. Si \(m > n\), alors il n’existe pas de solution causale à une excitation impulsionnelle et \(H(p)\) ne modélise pas un système physique réel.

Caractérisation d’un système asservi

La dynamique de la boucle peut être caractérisée par trois critères.

Stabilité

Avoir un système bouclé stable impose le caractère amorti de la réponse libre et donc des phénomènes transitoires du système. En général définir et imposer la stabilité ne suffit pas : il faut donc définir et imposer un certain degré de stabilitéi.e. définir des marges de sécurité vis à vis des risques d’instabilité. Les problèmes de stabilité seront abordés au chapitre Oscillateurs. Dans la suite de ce chapitre, on ne considère que des systèmes stables.

Précision

Obtenir une bonne précision consiste à faire en sorte que la sortie du système finisse par tendre vers une valeur la plus proche possible de l’entrée. On peut distinguer deux types critères :

• précision statique: concerne l’étude des systèmes asservis en régime indépendant du temps; on définit l’erreur statique comme la différence entre la sortie demandée et la sortie réalisée en \(t\rightarrow+\infty\);

• précision dynamique: erreur avec laquelle la sortie suit la consigne imposée au système.

Théorème 3 (Théorème de la valeur finale). Pour une transformée de Laplace dont tous les pôles sont à partie réelles strictement négatives, on a :

\[\boxed{\lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = \lim\limits_{p\to 0} pF(p)}\]

Le théorème de la valeur finale est particulièrement utile pour prévoir si un système bouclé présente une erreur statique. Notons aussi que la précision d’un système bouclé dépend du signal d’entrée (le système peut ne pas avoir la même précision si le signal d’entrée est un échelon ou une rampe).

Note

Démonstrations des propriétés de la transformée de Laplace

Pour toutes ces démonstrations, on suppose que \(f(t)\) a de "bonnes propriétés".

Formule de dérivation : Par une intégration par partie, on obtient:

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathcal{L}(f')(p) & = \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \left[ f(t) e^{-pt}\right]_{t=0}^{t\to+\infty} + \int_{0}^{+\infty}pe^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\\ & = 0 -f(0)+ p \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}f(t)\mathrm{d}t= pF(p) - f(0)\end{aligned}\end{split}\]

Formule d’intégration : Posons \(g(t)=\int_0^t f(t')\mathrm{d}t'\) la primitive de \(f(t)\). On a:

\[F(p) = \mathcal{L}(g')(p) = pG(p) - g(0) \Rightarrow G(p) = \frac{F(p)}{p} + \frac{g(0)}{p}\]

Théorème de la valeur finale : On sait que :

\[\mathcal{L}(f')(p) = pF(p)-f(0) \quad\text{i.e.}\quad \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = pF(p)-f(0)\]

Lorsque \(p\to 0\), on a :

\[pF(p)-f(0) = \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t \to \int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=\left[ f(t)\right]_{t=0}^{t\to+\infty}\]

\[\left( \lim\limits_{t \to +\infty} f(t)\right) - f(0) = \left(\lim\limits_{p \to 0} pF(p)\right) - f(0)\Rightarrow \lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = \lim\limits_{p \to 0} pF(p)\]

Rapidité

On s’intéresse à la durée nécessaire pour que le système bouclé atteigne le régime permanent. La rapidité est liée à la valeur des paramètres du système. Un système est d’autant plus rapide que sa bande passante est élevée. Pour améliorer la rapidité du système on doit agir sur le signal d’erreur \(\epsilon\) à l’aide d’un élément correcteur, qui va en général amplifier ce dernier lors du régime transitoire afin d’amplifier la réponse de la chaîne directe. L’inconvénient c’est qu’augmenter la rapidité de la réponse peut conduire à un dépassement de la valeur finale attendue voire à des oscillations. Augmenter la rapidité revient souvent à rapprocher le système d’un régime de fonctionnement instable.

Propriété 4. De manière générale, il y a une compétition entre rapidité et stabilité.

Application à l’asservissement d’un moteur à courant continu

Pour comprendre comment analyser un système bouclé asservi en régime linéaire stable, nous allons étudier l’asservissement en vitesse de rotation d’un moteur à courant continu (tel que sur la figure Fig. 38). Cet exemple permet de parler des propriétés générales d’un système en régulation, et peut être étudié expérimentalement à l’aide du matériel à disposition à l’agrégation.

Modélisation du système

Tout d’abord il faut écrire les équations qui régissent le système étudié et les traduire dans le domaine de Laplace. On pose \(u(t)\) la tension d’alimentation du moteur à courant continu, \(i(t)\) le courant circulant dans le moteur, \(\Omega(t)\) sa vitesse de rotation, \(R\) et \(L\) sa résistance et son inductance interne, \(J\) son moment d’inertie, \(K\) son coefficient de couplage électromécanique, \(f\) un coefficient de frottement fluide et \(C_{\rm ch}(t)\) un éventuel couple de charge [3]. En général les transformées de Laplace sont notées par les majuscules correspondantes.

• Équation électrique du moteur à courant continu :

  

  \[u(t) = Ri(t) + L \frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t} + K \Omega(t) \Rightarrow U(p) = RI(p) + Lp I(p) + K \Omega(p)\]
  \[\Rightarrow I(p) = \frac{1}{R+Lp}\left[ U(p) - K\Omega(p) \right]\]

• Équation mécanique du moteur à courant continu :

  \[J \frac{\mathrm{d}\Omega(t)}{\mathrm{d}t} = K i(t) -f \Omega(t) - C_{\rm ch}(t) \Rightarrow Jp\Omega(p) = KI(p) - f\Omega(p) - C_{\rm ch}(p)\]
  \[\Rightarrow \Omega(p) = \frac{1}{Jp+f} \left[ K I(p) - C_{\rm ch}(p) \right]\]

• Équation du comportement de la dynamo tachymétrique de coefficient [4] \(K_d\) et de réponse \(r(t)\) :

  \[r(t) = K_d \Omega(t) \Rightarrow R(p) = K_d \Omega(p)\]

Système non asservi

Pour le moment ne regardons pas la chaîne de retour réalisée par la dynamo tachymétrique. On voit que les deux équations du moteur à courant continu forment en elles-mêmes un système en rétroaction à cause de la loi de modération de Lenz (la mise en rotation engendre une force contre-électromotrice dans le circuit qui s’oppose au passage du courant), qui peut se représenter par un schéma bloc tel que sur la figure Fig. 41.

Fig. 41 Schéma bloc correspondant à la modélisation de la machine à courant continu et de la dynamo.

Les fonctions de transfert entre les différentes grandeurs du système peuvent être déduites des équations ou du schéma bloc. Par exemple, la fonction de transfert entre vitesse de rotation et tension d’entrée est :

\[\Omega(p) = \frac{1}{f+Lp}\left\lbrace - C_{\rm ch}(p) + \frac{K}{R+Lp}\left[ U(p) - K \Omega(p) \right] \right\rbrace\]

\[\Rightarrow H_{MCC}(p) = \frac{\Omega(p)}{U(p)} = \frac{K}{K^2 +fR+ (JR+fL)p + JLp^2}\]

lorsque le système fonctionne en suivi de consigne (\(C_{\rm ch}(t)=0\)). Bien entendu des modélisations plus simples du système peuvent être employées (\(L=0, f=0\)) mais il est aussi intéressant d’observer la puissance du formalisme de Laplace et des schémas blocs pour décrire un modèle complexe.

Une simulation du modèle de moteur à courant continu et de son asservissement en vitesse a été réalisée pour illustrer cet exemple. Dans la figure Fig. 42 est représenté le diagramme de Bode de la fonction de transfert \(H_{MCC}(p)\) du moteur pour des pertes assez faibles. Ce diagramme est caractéristique d’un système d’ordre 2.

Fig. 42 Fonction de transfert \(H_{MCC}(p)\) du moteur à courant continu étudié.

Pour étudier le comportement du système soumis à des perturbations de charge, comme on étudie des systèmes linéaires on utilise le principe de superposition et on combine linéairement la réponse de la boucle à une entrée \(u(t)\) pour \(C_{\rm ch}(t)=0\) avec la réponse pour une entrée un couple de charge quelconque \(C_{\rm ch}(t)\) et une entrée nulle \(u(t)=0\). La fonction de transfert \(\Omega(p)/C_{\rm ch}(p)\) décrit la réponse en régulation du système asservi.

Précision du système ouvert :

avec la donnée de la fonction de transfert, il est ensuite possible de calculer la réponse de la chaîne directe à une tension d’entrée \(U(p)\) échelon d’amplitude \(U\) :

\[H_{MCC}(p) = \frac{\Omega(p)}{U(p)} = \frac{K}{K^2 +fR+ (JR+fL)p + JLp^2}\]

\[\lim\limits_{t \to +\infty} \Omega(t) = \lim\limits_{p\to 0} p \Omega(p) = \lim\limits_{p\to 0} p H_{MCC}(p) U(p)= \lim\limits_{p\to 0} p H_{MCC}(p) \frac{U}{p} = \frac{K U}{K^2 + fR} \neq \frac{U}{K}\]

La vitesse de rotation attendue pour un moteur à courant continu idéal alimenté par une tension \(U\) est \(\Omega = U/K\). On observe ici que le système réel ne peut pas fournir la vitesse de rotation désirée à cause des pertes comme on pouvait s’y attendre (voir aussi figure Tableau 12 gauche). Par conséquent, pour améliorer la réponse du système à une commande il faut l’asservir tel que sur la figure Fig. 43.

Tableau 12 Gauche : réponse temporelle associée à la fonction de transfert \(H_{MCC}(p)\) (jaune) pour un échelon de commande (bleu) : une erreur statique est présente. Droite : réponse temporelle de la boucle fermée associée à la fonction de transfert \(H_{FTBF}(p)\) pour différentes valeurs \(K_d=1\) (bleu), 10 (jaune), 100 (vert) pour un échelon de commande (rouge) : la précision et la rapidité augmentent avec \(K_d\) mais des oscillations apparaissent.

Système asservi

Fig. 43 Régulation de vitesse d’un moteur à courant continu.

La réponse \(r(t)\) du système est comparée à la commande \(e(t)\) via un soustracteur. La fonction de transfert en boucle fermée pour une tension de commande \(E(p)\) en fonctionnement suiveur de commande s’écrit :

\[H_{FTBO}(p) = \frac{R(p)}{E(p)} = K_d H_{MCC}(p)\]

\[H_{FTBF}(p) = \frac{\Omega(p)}{E(p)} = \frac{H_{MCC}(p)}{1+H_{FTBO}(p)}\]

Précision du système asservi :

dans le cas du système asservi, soumis à une tension de commande échelon d’amplitude \(E\), la réponse du système converge vers :

\[\begin{split}\begin{aligned} \displaystyle\lim\limits_{t \to +\infty} \Omega(t) & = \lim\limits_{p\to 0} p \Omega(p) = \lim\limits_{p\to 0} p H_{FTBF}(p) E(p)= \lim\limits_{p\to 0} p H_{FTBF}(p) \frac{E}{p} \notag \\ & = \cfrac{\cfrac{KE}{K^2 + fR}}{1+ \cfrac{KK_d}{K^2 + fR}} = \frac{KE}{KK_d + K^2 + fR} \end{aligned}\end{split}\]

Si on choisit un gain \(K_d \gg K\), en supposant que les pertes mécaniques et résistives sont faibles on peut obtenir :

\[\lim\limits_{t \to +\infty} \Omega(t) \approx \frac{E}{K_d}\]

Donc boucler le système peut permettre au système de répondre avec une erreur statique moindre à une commande sous forme d’échelon si la chaîne de détection a un taux de contre-réaction fort (voir figure Tableau 12 droite). La précision du système bouclé sera d’autant meilleure que le détecteur est sensible. La conception de la chaine de retour doit donc être particulièrement soignée. La valeur de la tension de commande doit alors être adaptée au fonctionnement du détecteur i.e. l’utilisateur désirant une vitesse de rotation \(\Omega\) doit fournir une tension \(E=K_d \Omega\).

Notons que pour une tension d’entrée sous forme de rampe (\(e(t)=kt \Rightarrow E(p)=k/p^2\)) l’erreur statique tend vers l’infini: le système n’atteint jamais la valeur finale attendue et l’erreur ne fait qu’augmenter [5]. De plus augmenter le gain \(K_d\) n’est pas toujours possible ni souhaitable de manière générale (cela peut rendre le système instable), donc pour obtenir une erreur statique nulle il faut rajouter des éléments correcteurs dans la boucle.

Intérêt d’un élément correcteur

Fig. 44 Régulation de vitesse d’un moteur à courant continu avec élément correcteur.

Un correcteur est un élément de fonction de transfert \(C(p)\), en général électronique, rajouté dans la boucle juste après le comparateur afin d’améliorer soit la précision, la stabilité ou la rapidité (voir figure 7). Différents types de correcteur existent pour améliorer l’un ou l’autre de ces critères : proportionnel, intégrateur, dérivateur, déphaseur... La fonction de transfert en boucle fermée pour le système bouclé avec correcteur s’écrit :

\[H_{FTBO}^c(p) = \frac{R(p)}{E(p)} = K_d C(p)H_{MCC}(p)\]

\[H_{FTBF}^c(p) = \frac{\Omega(p)}{E(p)} = \frac{C(p) H_{MCC}(p)}{1+K_d C(p)H_{MCC}(p)}\]

Correction proportionnelle

Tableau 13 Gauche : diagrammes de Bode de la fonction de transfert \(H_{FTBO}^c(p)\) avec correction proportionnelle pour \(K_c=1\) (bleu), 10 (jaune). Droite : réponse temporelle de la boucle fermée associée à la fonction de transfert \(H_{FTBF}^c(p)\) avec correction proportionnelle pour \(K_d=10\) et différentes valeurs \(K_c=1\) (bleu), 10 (jaune) pour un échelon de commande (vert) : la précision et la rapidité augmentent avec \(K_c\) mais les oscillations se renforcent.

Propriété 5. La correction proportionnelle consiste à rajouter un simple amplificateur après le soustracteur :

\[C(p) = K_c\]

avec \(K_c\) une constante.

Cet élément peut être réalisé par exemple par un amplificateur non inverseur à ALI. Son rôle est de dilater le signal d’erreur \(\epsilon\) (ou le diminuer) pour que le système réagisse fortement (ou faiblement). L’intérêt de la correction proportionnelle est en général de rendre le système plus rapide et atténuer l’erreur statique. Examinons la fonction de transfert en boucle fermée pour s’en convaincre :

\[\begin{split}\begin{aligned} \displaystyle H_{FTBF}^c(p) & = \cfrac{K_c \cfrac{K}{K^2 +fR+ (JR+fL)p + JLp^2}}{1+ K_d K_c \cfrac{K}{K^2 +fR+ (JR+fL)p + JLp^2}} \notag \\ & = \frac{K_c K}{K_c K_d K +K^2 +fR+ (JR+fL)p + JLp^2 } \notag \\ & = \frac{K_c K}{K_cK_d K + K^2 +fR} \times \frac{1}{1+ \cfrac{JR+fL}{K_cK_d K + K^2 +fR}p + \cfrac{JL}{K_c K_d K + K^2 +fR}p^2}\end{aligned}\end{split}\]

Augmenter le gain du correcteur \(K_c\) revient à diminuer le coefficient d’amortissement donc à rendre le système plus rapide. La même propriété s’observe pour un système d’ordre 1. Mais le coefficient d’amortissement diminuant, le système risque de dépasser la valeur de consigne, ce que l’on doit chercher à éviter dans certains cas (accostage d’un bateau, perçage, etc...).

Étudions maintenant la précision statique:

\[\begin{aligned} \displaystyle\lim\limits_{t \to +\infty} \Omega(t) & = \lim\limits_{p\to 0} p \Omega(p) = \lim\limits_{p\to 0} p H_{FTBF}(p) \frac{E}{p} = \frac{K_c K}{K_cK_d K + K^2 +fR}\end{aligned}\]

Si \(K_c \gg K\), en supposant que les pertes mécaniques et résistives sont faibles, même avec \(K_d\) de l’ordre de 1, on peut obtenir :

\[\lim\limits_{t \to +\infty} \Omega(t) \approx \frac{E}{K_d}\]

La correction proportionnelle permet donc de réduire l’erreur statique sans changer les propriétés techniques de l’actionneur ou du capteur.

Correction dérivative

Tableau 14 Gauche : diagrammes de Bode de la fonction de transfert \(H_{FTBO}^c(p)\) avec correction dérivative pour \(K_c=1\) (bleu), 10 (jaune). Droite : réponse temporelle de la boucle fermée associée à la fonction de transfert \(H_{FTBF}^c(p)\) avec correction dérivative pour \(K_d=10\) et différentes valeurs \(K_c=1\) (bleu), 10 (jaune) pour un échelon de commande (vert) : la précision et la rapidité augmentent avec \(K_c\) et les oscillations disparaissent.

Propriété 6. L’action dérivée va permettre de fournir en entrée de l’actionneur un signal qui va dépendre du signe et de la vitesse de variation du signal d’erreur \(\epsilon\) :

\[C(p) = K_c p\]

Sans rentrer dans les détails, ce type d’action peut permettre de relever l’ordre du système et donc d’éviter des comportements oscillatoires et des dépassements de consignes [6]. Il faut noter que ce type de correcteur est purement théorique et n’est pas réalisable physiquement à cause de la condition de causalité. De plus il amplifie les hautes fréquences donc potentiellement du bruit.

Correction intégrale

Tableau 15 Gauche : diagrammes de Bode de la fonction de transfert \(H_{FTBO}^c(p)\) avec correction intégrale pour \(K_c=1\) (bleu), 10 (jaune). Droite : réponse temporelle de la boucle fermée associée à la fonction de transfert \(H_{FTBF}^c(p)\) avec correction intégrale pour \(K_d=10\) et différentes valeurs \(K_c=0.01\) (bleu), 0.1 (jaune), 0.5 (vert) pour un échelon de commande (rouge) : l’erreur statique est nulle mais la rapidité a diminué, et les oscillations se renforcent lorsque \(K_c\) augmente.

Propriété 7. La correction intégrale peut servir à supprimer une erreur statique :

\[C(p) = \frac{K_c}{p}\]

Tant qu’une erreur \(\epsilon\) subsiste, elle va être intégrée ce qui va conduire le signal en sortie du correcteur à être de plus en plus important et donc forcer l’actionneur à résorber cette erreur. La commande intégrale est donc progressive mais persévérante. Reprenons l’exemple de la régulation de vitesse d’un moteur à courant continu soumis à un échelon de tension \(E\) :

\[\begin{split}\begin{aligned} \displaystyle H_{FTBF}^c & = \frac{K_c \cfrac{K}{p\left(K^2 +fR+ (JR+fL)p + JLp^2\right)}}{1+ K_d K_c \cfrac{K}{p\left(K^2 +fR+ (JR+fL)p + JLp^2\right)}} \notag \\ & = \frac{K_c K}{K_c K_d K +p\left(K^2 +fR+ (JR+fL)p + JLp^2 \right)} \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{aligned} \displaystyle\lim\limits_{t \to +\infty} \Omega(t) & = \lim\limits_{p\to 0} p \Omega(p) = \lim\limits_{p\to 0} p H_{FTBF}^c(p) \frac{E}{p} = \frac{K_c K E}{K_c K_d K} = \frac{E}{K_d} \end{aligned}\]

Donc quelque soit la sensibilité \(K_d\) du détecteur ou le gain de la chaîne directe, le système bouclé converge vers la valeur demandée par la commande. Néanmoins rajouter une correction intégrale revient à augmenter l’ordre du système et donc peut conduire à des régimes de fonctionnement instables (voir chapitre Oscillateurs).

Correction PID

La correction PID pour proportionnelle-intégrale-dérivateur est la somme des correcteurs précédents :

\[C(p) = K_P + K_D p + \frac{K_I}{p}\]

C’est un type de correcteur général qui peut permettre de répondre aux différentes problématiques de l’asservissement en ajustant les coefficients \(K_P, K_D, K_I\).

Exercices (quelques solutions en annexe)

1. Reprendre la résolution du circuit RC avec le formalisme de Laplace mais en supposant le condensateur chargé sous une tension \(E\) en \(t=0\). Que se passe-t-il si le circuit est soumis à une tension d’entrée \(e(t)=E u(t)\) ? A une tension nulle ?

2. Pour un système passe-bas d’ordre 1 quelconque bouclé par une chaîne de retour de gain \(K_d\), montrer que l’on a conservation du produit gain-bande.

[1]

Rappelons que la transformée de Fourier est définie pour toute fonction \(f(t)\), alors que la transformée de Laplace est définie pour une fonction dite causale, donc nulle à \(t<0\). Donc l’identification formelle n’est pas suffisante en toute rigueur. De plus la transformée de Laplace n’est définie que pour des nombres \(p\) pour lesquels l’intégrale converge i.e. tels que \(\lim\limits_{t \to +\infty} e^{-pt}f(t)=0\).

[2]

Certains ouvrages vont préciser la borne inférieure \(0\) en \(0^-\) ou \(0^+\) pour gérer le problème de la dérivée de la fonction échelon en \(t=0\). Dans ce cours, les dérivées sont considérées au sens des distributions de fonction, et comme nous avons défini la fonction échelon en valant 1 en \(t=0\), il n’est pas nécessaire de préciser \(0^+\) ou \(0^-\).

[3]

Il s’agit du couple que l’on cherche à récupérer pour faire tourner tel ou tel objet, ou les frottements pour percer un mur, etc. C’est donc le couple utile mais considéré comme une charge (éventuellement variable) sur le système.

[4]

Sur la plaquette en TP, \(K_d=K\) car le moteur et le générateur sont identiques.

[5]

Sans parler des problèmes de limitation en puissance et en vitesse de rotation de la machine.

[6]

Sur la figure Tableau 14, il semblerait que la réponse temporelle converge vers la valeur de consigne. En réalité, comme le montrerait le calcul, \(\Omega(t)\) tend vers 0 sur un temps très long. Avec un correcteur plus réaliste du type correction proportionnelle plus correcteur dérivatif, la réponse converge en revanche avec une erreur statique d’autant plus petite que \(K_c\) est grand.